Трансформације графика квадратне функције

Да би смо видели како се мења график квадратне функције у  зависности од параметара, морамо пронаћи њен канонски облик. Квадратна функција има општи облик y = ax² + bx + c. Ако га трансформишемо на следећи начин, добићемо:

што после извлачења а испред заграде постаје:

проширујемо израз у загради до потпуног квадрата бинома:

што записујемо као:

односно:

где су .

Канонски облик квадратне функције је управо оно што смо добили тј.

y = a (x+ α)²+ β.

Приметимо још да је (α, β) теме квадратне функције.

Шта се дешава ако мењамо параметре а, α, β? 

Посматрајмо график функције y = (x + 2)² који је дат на слици:

Код ове функције је а = 1, α = 2, β = 0. Њено теме је уједно и њена нула Т(-2,0) а у-осу сече у тачки A(0,4).

Ако променимо параметар а, на пример а = 2 или а = 0.5, добиће се следећи график:

Можемо приметити да ће за веће бројеве (плави график на слици) гране криве бити ближе у-оси тј. гране ће бити приближеније једна другој, а за мање бројеве ће бити раширеније (зелена крива на слици).

Уколико променимо вредност броја α, повећамо га на α = 5 (плави график) или смањимо на α = - 4 (зелени график), графици одговарајућих функција биће:   

Видимо да се график померио хоризонтално, плави у лево а зелени у десно дуж х-осе.

  

Променом β параметра график се помера вертикално, паралелно са у-осом. Пример можемо видети на следећој слици:

    
Промену графика можемо видети и испробати помоћу интерактивне апликације на страници GeoGebre: тест апликација