У природи се
често срећемо са појавама које зависе од других појава или процеса.
Величине које
се ту појављују и које се мењају називамо променљивим. Променљиве су међусобно зависне,
а ту зависност описујемо функцијама. Ако имамо два скупа А и В, функцију која
придружује елементе скупа В елементима скупа А означавамо са f: A → B.
Функције се могу задавати на три начина: таблично, графички и аналитички.
Таблично задавање се најчешће користи у природним и техничким наукама:
x
|
1
|
3
|
5
|
7
|
y
|
2
|
4
|
6
|
8
|
Овде имамо дате вредности за променљиву x и за њој придружену вредност y.
Графичко задавање функција омогућава израчунавање вредности функције за конкретне вредности променљиве и приказује ток и својства функције:
Аналитички, функција се задаје једначином тј.формулом. На пример:
y = 2x2
+
16,
y
=
x
- 8, х2 + у2 =
16
итд.
Квадратна функција је функција чији је основни облик
f(x)
=
y
=
ax2
+ bx +
c,
где су a,
b
и c
реални коефицијенти, а њен график у Декартовом правоуглом систему координата је
крива са називом парабола, која се детаљније изучава у трећем разреду. Посматраћемо
само квадратну функцију чији су коефицијенти реални, односно чији су домен и
кодомен скуп реалних бројева. Овде нам није интересантан случај када је a = 0, јер одговарајућа функција
f(x) = bx +c није квадратна
већ линеарна
и њен график је права а не парабола.
Оваква
функција назива се потпуна јер има
сва три члана. Постоје и непотпуне
квадратне функције: које немају средњи члан (уз х) и чији је општи облик y
=
ax2
+ c, и оне које немају последњи члан (слободни члан) чији је облик y = ax2 + bx. У овом раду изучаваћемо само потпуне квадратне функције.
На слици је график параболе y = x2 – x - 2, где је a = 1, b = -1, c = -2 јер ову функцију можемо записати као y = 1x2 + (-1)x + (-2), одакле лако уочавамо придружене коефицијенте.
Приметимо да на графику:
• за сваки реални број х постоји неки број у = f(х);
• тачке -1 и +2 на апсциси којима пролази график, су и нуле одговарајуће квадратне једначине у = f(х) = 0;
• тачке графика између нула и тачке изван нула су са различите стране апсцисе.
Пример парабола може бити лук моста на слици, средишњи лук се рефлектује на површини воде у кружницу.
Пример параболе је и лого за McDonald's.
И кроз историју, људи су проучавали и користили параболе и квадратне функције. Још око 2000.г.п.н.е. су египатски, кинески и вавилонски инжењери знали да нађу површину квадрата помоћу дужина његових страница. Знали су да треба три пута више бала сена ако се странице квадратног амбара утроструче. Штавише, знали су израчунавати површине сложенијих фигура, попут правоугаоника или Т облика. Антички грчки математичар Менаехмус (Μέναιχμος,380–320. г.п.н.е.), пријатељ филозофа Платона, истраживао је конусне пресеке и открио је параболу. Други антички грчки филозоф, Аполониус (Ἀπολλώνιος, 262-190. г.п.н.е.), дао је параболи име. Један од последњих великих грчких математичара, Папус (290-350. г.), одредио је формуле за фокус и директрисе параболе.
