Знак

Знак квадратне функције f(x) = y = ax² + bx + c зависи од вредности променљиве х и од коефицијената функције. Знак функције у тачки х је позитиван, односно негативан, ако је вредност функције y тој тачки позитивна, односно негативна.

Ако посматрамо следећу слику видимо да то практично значи да је изнад х-осе функција позитивна а испод ње је негативна.

На примеру овог графика видимо да је задата функција позитивна на интервалима (-∞,-1) и (2,+∞) а негативна између, тј. на интервалу (-1.2).

Приметимо да у триному дате квадратне функције за велике бројеве х доминира први сабирак. Рецимо, за квадратну функцију y = 2x² - 2x - 4, имамо редом:

• f(10) = 200 – 20 – 4 = 176,
• f(100) = 20 000 – 200 – 4 = 19796 ,
• f(1000) = 2 000 000 – 2000 – 4 = 1997996
•…

• y = 2x² - 2x - 4 тежи x², када x →∞.

Пошто квадрат реалног броја не може бити негативан, у случају великих бројева х, знак квадратне функције је знак коефицијента а. Како је a ≠ 0, у наведеном примеру, следи:

a  >  0 ⇒ f(x) x → + ∞, и
a  <  0 ⇒ f(x) x → - ∞.

Последица тога су само две могућности графика квадратне функције:
• када је a > 0 тада гране (руке) параболе иду горе - фукција је „срећна“, „смеје се“,
• када је a < 0 тада гране параболе иду доле – функција је „тужна“, „плаче“.

Овакво представљање знака  графика  функције је изузетно лако за памћење и ученици га врло добро прихватају, за разлику од стандардних термина позитивна и негативна функција које, наравно, увек треба придодати и нагласити.

На следећој слици, у истом координатном систему имамо оба случаја: у₁= x² – x - 2 код које је a = 1 > 0 (плави график), и у₂ = -x² + 3х (црвени график) која има a = - 1 < 0.

Прва (плава) парабола је функција чије нуле су -1 и 2,а  гране иду горе a друга (црвена) је функција са нулама 0 и 3 и гранама ка доле. 

Знак квадратне функције можемо одредити на још један начин, посматрајући дискриминанту, D = b² - 4ас, одговарајуће функције.

Функција  f(x) = y = ax² + bx + c се може записати у облику

y = a(x-х₁)(x-х₂),

где су х₁ и х₂ нуле функције (последица већ поменутих Виетових формула). У зависности од знака свих чинилаца функција ће бити позитивна или негативна.