Пример
1.
Одредити карактеристичне вредности функције y = x2 - 6x + 5.
Одредити карактеристичне вредности функције y = x2 - 6x + 5.
Решење:
Треба наћи нуле,теме и одредити знак функције. Дискриминанта ове функције је D = b2 - 4ас = 16 > 0 па ћемо имати две реалне и различите нуле. Нуле налазимо решавајући једначину x2 - 6x + 5 = 0 применом формуле за њено решавање и добијамо да су то тачке А(1,0) и В(5,0). За координате темена користимо формуле
,
и имамо Т(3, -4). Како су D > 0 и а > 0,
функција ће на интервалу (1, 5) бити негативна а на осталим деловима позитивна.
Пример
2.
Написати функцију y = 2x2 - 8x + 5 у канонском облику и одредити њено теме.
Написати функцију y = 2x2 - 8x + 5 у канонском облику и одредити њено теме.
Решење:
2x2 - 8x + 5 =
2(x2 - 4x) + 5 =
2(x2 - 4x + 4 - 4) + 5 =
2(x2 - 4x + 4) – 8 + 5 =
2(х - 2)2 - 3.
2x2 - 8x + 5 =
2(x2 - 4x) + 5 =
2(x2 - 4x + 4 - 4) + 5 =
2(x2 - 4x + 4) – 8 + 5 =
2(х - 2)2 - 3.
Теме има координате Т(2, -3).
Пример 3.
Одредити знак функције y = - x2 + 3x + 4.
Решење:
На основу формула, нуле ове функције су тачкје А(-1, 0) и B(4, 0), а D = 25 > 0. Због негативне вредности коефицијента а, график ће бити окренут на доле. Пошто је а < 0 и D > 0, позитивни део функције ће бити на интервалу (-1, 4) а негативни ван њега.
На основу формула, нуле ове функције су тачкје А(-1, 0) и B(4, 0), а D = 25 > 0. Због негативне вредности коефицијента а, график ће бити окренут на доле. Пошто је а < 0 и D > 0, позитивни део функције ће бити на интервалу (-1, 4) а негативни ван њега.
Пример
4.
Код функције y = - 2x2 + bx + с одредити реалне параметре b и с тако да је теме њеног графика тачка Т(-2, 2).
Код функције y = - 2x2 + bx + с одредити реалне параметре b и с тако да је теме њеног графика тачка Т(-2, 2).
Решење:
Координате темена рачунамо помоћу формула за теме параболе:
Координате темена рачунамо помоћу формула за теме параболе:
Замењујући да је а = - 2 (што читамо из поставке квадратне функције) у прву једначину, добијамо да је b = -8. Када у другу једначину уврстимо вредности за а и b можемо израчунати из формуле за D да је с = - 6.
Тражена функција је: y = - 2x2 - 8x - 6.
Пример 5.
Код функције y = 3x2 + bx + 7 одредити b тако да она има минимум за х = 1.
Пример 5.
Код функције y = 3x2 + bx + 7 одредити b тако да она има минимум за х = 1.
Решење:
Знамо да је у темену тачка екстремума, па из формула за теме:
Знамо да је у темену тачка екстремума, па из формула за теме:
а како је а = 3, на основу поставке задатка, следи да је b = - 6.
Пример 6.
Нацртати график функције y = 2x2 - 2x - 4.
Пример 6.
Нацртати график функције y = 2x2 - 2x - 4.
Решење:
Нуле ове функције, према формули, су тачке А(-1, 0) и В(2, 0) а теме Т(0.5, - 4.5). Како је а > 0 и D > 0 график ће изгледати овако:
Нуле ове функције, према формули, су тачке А(-1, 0) и В(2, 0) а теме Т(0.5, - 4.5). Како је а > 0 и D > 0 график ће изгледати овако:
Пример 7.
Нацртати график функције y = - x2 - 5x - 3.Решење:
У овом случају нуле и теме су тачке А(-1, 0), В(-4, 0) и Т(-2.5, 2.25). Рачунајући дискриминанту по формули D = b2 - 4ас добија се да је она 9 тј. D > 0. Пошто је а < 0 график ове функције ће бити:
